Question

3．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2{a^2}x+b，a，b∈R$．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線與曲線y=f（x）的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為3，求a的值；
（2）當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，對(duì)任意c，d∈[-1，2]，使f（c）-b+f'（d）≥M+8a恒成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）清楚f'（x）=-x²+ax+2a²，推出f'（0）=2a²，求出切線方程，利用切線與曲線y=f（x）的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為3，求解即可．
（2）$f（c）-b=-\frac{1}{3}{c^3}+\frac{1}{2}a{c^2}+2{a^2}c$，令$g（c）=-\frac{1}{3}{c^3}+\frac{1}{2}a{c^2}+2{a^2}c$，求出導(dǎo)數(shù)g'（c）=-c²+ac+2a²=-（c+a）（c-2a），令g'（c）=0，得到極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值，推出函數(shù)h（a）的最值，利用$f（c）-b+f'（d）≥6{a^2}+4a-\frac{20}{3}$，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=-x²+ax+2a²，則f'（0）=2a²，f（0）=b=3，（1分）
所以切線方程為y=2a²x+b，代入y=f（x）得$\frac{1}{2}a{x^2}=\frac{1}{3}{x^3}$，則${x_1}=0，{x_2}=\frac{3}{2}a$，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}a=3$，即a=2．                  （4分）
（2）$f（c）-b=-\frac{1}{3}{c^3}+\frac{1}{2}a{c^2}+2{a^2}c$，
令$g（c）=-\frac{1}{3}{c^3}+\frac{1}{2}a{c^2}+2{a^2}c$，則g'（c）=-c²+ac+2a²=-（c+a）（c-2a），
令g'（c）=0，則c=-a或c=2a，
因?yàn)?0＜a≤\frac{1}{2}$，所以$-a∈[-\frac{1}{2}，0），2a∈（0，1]$，
所以當(dāng)c∈[-1，-a]和c∈（2a，2]時(shí)，g'（c）＜0，函數(shù)g（c）單調(diào)遞減，
當(dāng)c∈（-a，2a）時(shí)，g'（c）＞0，函數(shù)g（c）單調(diào)遞增，
所以函數(shù)g（c）的極小值為$g（-a）=\frac{1}{3}{a^3}+\frac{1}{2}{a^3}-2{a^3}=-\frac{7}{6}{a^3}$，又$g（2）=-\frac{8}{3}+2a+4{a^2}$，
令$h（a）=g（2）-g（-a）=\frac{7}{6}{a^3}+4{a^2}+2a-\frac{8}{3}$，
易知，當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)h（a）單調(diào)遞增，故$h{（a）_{max}}=h（\frac{1}{2}）=-\frac{25}{48}＜0$，所以g（2）＜g（-a），
即當(dāng)c∈[-1，2]時(shí)，$g{（c）_{min}}=g（2）=-\frac{8}{3}+2a+4{a^2}$，（9分）
又$f'（d）=-{d^2}+ad+2{a^2}=-{（d-\frac{a}{2}）^2}+\frac{{9{a^2}}}{4}$，
其對(duì)應(yīng)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為$d=\frac{a}{2}＜\frac{1}{2}$，所以d=2時(shí)，$f'{（d）_{min}}=f'（2）=-4+2a+2{a^2}$，
所以$f（c）-b+f'（d）≥6{a^2}+4a-\frac{20}{3}$，故有$6{a^2}+4a-\frac{20}{3}≥M+8a$，
又$6{a^2}+4a-\frac{20}{3}-8a=6{（a-\frac{1}{3}）^2}-\frac{22}{3}$，因?yàn)?0＜a≤\frac{1}{2}$，所以$6{（a-\frac{1}{3}）^2}-\frac{22}{3}≥-\frac{22}{3}$，
所以$M≤-\frac{22}{3}$．                  （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．