Question

山區(qū)一林場(chǎng)2013年底的木材存量為30萬(wàn)立方米，森林以每年20%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)．從今年起每年年底要砍伐1萬(wàn)立方米的木材，設(shè)從今年起的第n年底的木材存量為a_n萬(wàn)立方米．
（Ⅰ）試寫出a_n+1與a_n的關(guān)系式，并證明數(shù)列{a_n-5}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）問(wèn)大約經(jīng)過(guò)多少年，林場(chǎng)的木材總存量達(dá)到125萬(wàn)立方米？（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.30，lg3=0.48）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題得a_n+1=a_n×（1+20%）-1，由此能數(shù)列{a_n-5}是公比為

6

5

的等比數(shù)列，由此能寫出a_n+1與a_n的關(guān)系式，并證明數(shù)列{a_n-5}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由a₁-5=30×（1+20%）-1-5=30，得an=30(

6

5

)n-1+5，由此能求出大約經(jīng)過(guò)9年，林場(chǎng)的木材總存量達(dá)到125萬(wàn)立方米．

解答： 解：（Ⅰ）由題得a_n+1=a_n×（1+20%）-1
即an+1=

6

5

an-1…2分
所以

an+1-5

an-5

=

6 5 an-6

an-5

=

6

5

因此數(shù)列{a_n-5}是公比為

6

5

的等比數(shù)列  …6分
（Ⅱ）由題a₁-5=30×（1+20%）-1-5=30
所以an-5=30(

6

5

)n-1，即an=30(

6

5

)n-1+5…8分
所以an=30(

6

5

)n-1+5≥125，即(

6

5

)n-1≥4(n-1)lg

6

5

≥lg4
所以n＞

2lg2

2lg2+lg3-1

+1=8.5
所以，大約經(jīng)過(guò)9年，林場(chǎng)的木材總存量達(dá)到125萬(wàn)立方米．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意等比數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．