如圖所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.

(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo);
(2)問當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí),BC邊上能存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD?
(3)當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥QD時(shí),求二面角Q-PD-A的大。

(1)P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,a,0).(2)a≥0.(3)

解析試題分析:(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、AD、AP分
別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖所示.∵PA=AB=1,BC=a,∴P(0,0,1),B(1,1,0),
D(0,a,0).

(2)設(shè)點(diǎn)Q(1,x,0),則
,得x2-ax+1=0.
顯然當(dāng)該方程有實(shí)數(shù)解時(shí),BC邊上才存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD,故⊿=a2-4≥0.
因a>0,故a的取值范圍為a≥0.
(3)易見,當(dāng)a=2時(shí),BC上僅有一點(diǎn)滿足題意,此時(shí)x=1,即Q為BC的中點(diǎn).
取AD的中點(diǎn)M,過M作MN⊥PD,垂足為N,連結(jié)QM、QN.則M(0,1,0),P(0,0,1),D(0,2,0).
∵D、N、P三點(diǎn)共線,∴
,且,
.于是

,∴.∴∠MNQ為所求二面角的平面角.
,∴所求二面角為
考點(diǎn):本題考查了向量法在立體幾何中的運(yùn)用
點(diǎn)評:空間向量就是一把解決立體幾何問題的鑰匙,利用向量解答立體幾何問題實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化,降低了問題解決的難度

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖甲,設(shè)正方形的邊長為,點(diǎn)分別在上,并且滿足
,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點(diǎn)
平面上的射影恰好在上.

(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.

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如圖,是以為直徑的半圓上異于、的點(diǎn),矩形所在的平面垂直于該半圓所在的平面,且

(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為
①試證:
②若,求三棱錐的體積.

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在棱長為的正方體中,分別為的中點(diǎn).

(1)求直線與平面所 成 角的大。
(2)求二面角的大。

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如圖,在棱長為1的正方體中.

⑴求異面直線所成的角;
⑵求證:平面平面

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直三棱柱中,,、分別為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求四面體的體積.

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如圖,在四棱錐中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分別是AP、AD的中點(diǎn).

求證:(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD

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如圖,四棱錐的底面是正方形,⊥底面,點(diǎn)在棱上.

(1)求證:平面⊥平面
(2)當(dāng)的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成角的正弦值.

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(本題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面,,的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)證明平面;

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