Question

已知數(shù)列a_n=

1

n

ln(1+

1

n

)+

1

2n3

-

1

3n4

．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．求證S_n＜

33

20

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：令f（x）=ln（1+x）-x，（0≤x≤1），利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）在0≤x≤1內(nèi)單調(diào)遞減，于是ln（1+x）≤x，xln（1+x）＜x²，可得

1

n

ln(1+

1

n

)≤

1

n2

，
另一方面：

1

2n3

-

1

3n4

=

3n-2

6n4

＜

3n

6n4

=

1

2n3

≤

1

2n2

，可得a_n＜

3

2(n+1)n

=

3

2

(

1

n

-

1

n+1

)，即可證明．

解答： 證明：令f（x）=ln（1+x）-x，（0≤x≤1），則f′（x）=

1

1+x

-1＜0，
因此函數(shù)f（x）在0≤x≤1內(nèi)單調(diào)遞減，
∴f（x）≤f（0），
∴l(xiāng)n（1+x）≤x，
∴xln（1+x）＜x²，
∴

1

n

ln(1+

1

n

)≤

1

n2

，
另一方面：

1

2n3

-

1

3n4

=

3n-2

6n4

＜

3n

6n4

=

1

2n3

≤

1

2n2

，
∴a_n=

1

n

ln(1+

1

n

)+

1

2n3

-

1

3n4

＜

3

2n2

＜

3

2(n+1)n

=

3

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n＜

3

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

3

2

(1-

1

n+1

)＜

3

2

＜

33

20

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”、不等式的證明，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．