Question

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（GeorgePolya，1887-1985）曾說過：“類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題．”確實(shí)，類比是科學(xué)發(fā)展的靈魂，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要工具之一，例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是A，B，C對邊，由勾股定理可得c²=a²+b²．
（1）由平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，我們可類比猜想得出空間中四面體的一個(gè)性質(zhì)：在四面體S-ABC中，三個(gè)側(cè)面SAB、SBC、SAC兩兩相互垂直，則

 

．
（2）試證明你所猜想的結(jié)論是否正確．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：由勾股定理是平面二維的線與線之間的關(guān)系，類比到三維空間可猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD，S_△BCD² =

1

4

CD²•BE² =CD²•（AB²+AE²）=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²），再化簡即得結(jié)論．

解答： 解：（1）線的關(guān)系類比到面的關(guān)系，猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．
（2）理由如下：如圖作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD．
S_△BCD² =

1

4

CD²•BE² =CD²•（AB²+AE²）=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²
故答案為：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．

點(diǎn)評：本題考查類比推理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．其中由二維到三維的類比推理要注意點(diǎn)的性質(zhì)往往推廣為線的性質(zhì)，線的性質(zhì)往往推廣為面的性質(zhì)．