Question

2．已知α為銳角，且$tanα=\sqrt{2}-1$，函數(shù)$f（x）={x^2}tan2α+x•sin（2α+\frac{π}{4}）$，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{2}\;，\;{a_{n+1}}=f（{a_n}）$，則有（　�。�

• A． a_n+1＞a_n
• B． a_n+1≥a_n
• C． a_n+1＜a_n
• D． a_n+1≤a_n

Answer 1

分析 利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α為銳角，可求得sin（2α+$\frac{π}{4}$）=1，于是可知函數(shù)f（x）的表達(dá)式，由數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{2}\;，\;{a_{n+1}}=f（{a_n}）$，可得
a_n+1=a_n²+a_n，即a_n+1-a_n=a_n²＞0，問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵為銳角，且$tanα=\sqrt{2}-1$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2（\sqrt{2}-1）}{1-（\sqrt{2}-1）^{2}}$=1，
∴2α=$\frac{π}{4}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=1，
∴f（x）=x²+x，
∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{2}\;，\;{a_{n+1}}=f（{a_n}）$，
∴a_n+1=a_n²+a_n，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴a_n+1＞a_n，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意正切二倍角公式和數(shù)列遞推公式的合理運(yùn)用．