Question

13．（1）設(shè)x＞0，y＞0，若$\sqrt{2}$是2^x與4^y的等比中項(xiàng)，則x²+2y²的最小值為$\frac{1}{3}$．
（2）m，n＞0，m+n=1，求$\frac{{m}^{2}}{m+2}$+$\frac{{n}^{2}}{n+1}$的最小值$\frac{1}{4}$．
（3）設(shè)a+b=2，b＞0，則$\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}$的最小值$\frac{3}{4}$．
（4）根據(jù)以上小題的解答，總結(jié)說明含條件等式的求最值問題的解決策略（寫出兩個）①化為二次函數(shù)問題來解決
②利用基本不等式的性質(zhì)．

Answer 1

分析 （1）利用等比中項(xiàng)建立等式關(guān)系，消去其中一個未知數(shù)，構(gòu)造二次函數(shù)求解．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解．
（3）把$\frac{1}{2|a|}=\frac{a+b}{4|a|}$，分離后，利用基本不等式的性質(zhì)即可．

解答 解：（1）由題意：x＞0，y＞0，$\sqrt{2}$是2^x與4^y的等比中項(xiàng)，則有：2^x•4^y=2⇒x+2y=1
那么：x²+2y²=（1-2y）²+2y²=6y²-4y+1=$6（y-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{3}$，當(dāng)y=$\frac{1}{3}$時，x²+2y²取得最小值為$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$
（2）m，n＞0，m+n=1，那么：n=1-m（0＜m＜1）．
則：$\frac{{m}^{2}}{m+2}$+$\frac{{n}^{2}}{n+1}$=$\frac{{m}^{2}}{m+2}+\frac{（1-m）^{2}}{2-m}$=$\frac{4}{m+2}+\frac{1}{2-m}-2$
令f（m）=$\frac{{m}^{2}}{m+2}+\frac{（1-m）^{2}}{2-m}$，那么f′（m）=$\frac{（6-m）（3m-2）}{（{m}^{2}-4）^{2}}$
令f′（m）=0，解得m=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)0＜m＜$\frac{2}{3}$時，有f′（m）＜0，
當(dāng)$\frac{2}{3}$＜m＜1時，有f′（m）＞0，
故當(dāng)m=$\frac{2}{3}$時，f（m）取得極小值，即最小值．
∴f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{\frac{2}{3}+2}+\frac{1}{2-\frac{2}{3}}-2=\frac{1}{4}$
故最小值為$\frac{1}{4}$．
（3）∵b＞0，a+b=2，∴$\frac{1}{2|a|}=\frac{a+b}{4|a|}$，
那么：$\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}$=$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}$
當(dāng)a＞0時，$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{a}+\frac{4a}≥1$+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=$\frac{4}{3}$時取等號．
當(dāng)a＜0時，$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}$=-$\frac{1}{4}$+$\frac{a}+\frac{4a}≥1$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=-2，b=4時取等號．
故答案為$\frac{3}{4}$．
（4）①化為二次函數(shù)問題來解決；②利用基本不等式的性質(zhì)；③利用導(dǎo)函數(shù)來求最值．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)的變形與運(yùn)用欲二次函數(shù)相結(jié)合求最值的問題．比較綜合性．屬于中檔題．