Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ A≠0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）在$x=\frac{2π}{3}$時(shí)取得最大值，且它的最小正周期為π，則（　�。�

• A． f（x）的圖象過點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）
• B． f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上是減函數(shù)
• C． f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$
• D． f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸是x=$\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出函數(shù)f（x）的解析式，再對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期為π，
所以$T=\frac{2π}{ω}=π$，
所以ω=2，即函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ），
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=Asin（2x+φ）在$x=\frac{2π}{3}$時(shí)取得最大值，
所以$sin（{2×\frac{2π}{3}+φ}）=±1$，
即$2×\frac{2π}{3}+φ=±\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
又因?yàn)?-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，所以$φ=\frac{π}{6}$，
所以$f（x）={A}sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，其中 A＜0；
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?f（0）={A}sin\frac{π}{6}=\frac{A}{2}≠\frac{1}{2}$，所以選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù)$f（x）={A}sin（{2x+\frac{π}{6}}）$的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：
$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
所以f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?f（{\frac{5π}{12}}）={A}sin（{2×\frac{5π}{12}+\frac{π}{6}}）=0$，
所以f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$，即選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?f（{\frac{5π}{12}}）={A}sin（{2×\frac{5π}{12}+\frac{π}{6}}）=0$，
所以$x=\frac{5π}{12}$不是f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．