Question

4．隨著人口老齡化的到來(lái)，我國(guó)的勞動(dòng)力人口在不斷減少，”延遲退休“已經(jīng)成為人們?cè)絹?lái)越關(guān)注的話題，為了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）
人數(shù)	4	5	8	5	3
年齡	[45，50）	[50，55）	[55，60）	[60，65）	[65，70）
人數(shù)	6	7	3	5	4

經(jīng)調(diào)查年齡在[25，30），[55，60）的被調(diào)查者中贊成人數(shù)分別是3人和2人，現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人，進(jìn)行跟蹤調(diào)查．
（Ⅰ）求年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率；
（Ⅱ）若選中的4人中，不贊成“延遲退休”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）設(shè)“年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休””為事件A，則P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$．
（II）X的可能取值為0，1，2，3．利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)“年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休””為事件A，
則P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$．
（II）X的可能取值為0，1，2，3．P（X=0）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}{∁}_{2}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{5}$．P（X=2）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{13}{30}$，
P（X=3）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{1}{15}$

∴E（X）=0+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{13}{30}$+3×$\frac{1}{15}$=$\frac{22}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．