Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{2}$+alnx．
（Ⅰ）若a＜0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，證明：若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{e}$]上僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）若存在x₀≥1，使得f（x）-$\frac{a}{2}$x²-x＜$\frac{a}{a-1}$（a≠1），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，列表得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的唯一零點(diǎn)即可證明結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{a}{2}$x²-x，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于a的不等式，解出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
f′（x）=x+$\frac{a}{x}$=$\frac{{{x^2}+a}}{x}$，…（2分）
由f′（x）=0解得x=$\sqrt{-a}$．
f（x）與f?（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

x	（0，$\sqrt{-a}$）	$\sqrt{-a}$	（$\sqrt{-a}$，+∞）
f?（x）	-	0	+
f（x）	↘	$\frac{-a+aln（-a）}{2}$	↗

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{-a}$），單調(diào)遞增區(qū)間是（$\sqrt{-a}$，+∞）；
f（x）在x=$\sqrt{-a}$處取得極小值$\frac{-a+aln（-a）}{2}$．                …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為$\frac{-a+aln（-a）}{2}$，
因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以$\frac{-a+aln（-a）}{2}$≤0，從而a≤-e，
當(dāng)a=-e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞減，且f（$\sqrt{e}$）=0，
所以x=$\sqrt{e}$是f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{e}$]上的唯一零點(diǎn)，
當(dāng)a＜-e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞減，
且f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e+a}{2}$＜0，
所以f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{e}$]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可知，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{e}$]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．…（9分）
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{a}{2}$x²-x=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x，
g′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{1-a}{x}$（x-$\frac{a}{1-a}$）（x-1），
①若a＞1，則g（1）=$\frac{1-a}{2}$-1=$\frac{-1-a}{2}$＜$\frac{a}{a-1}$，符合題意，
②若a≤$\frac{1}{2}$，則$\frac{a}{1-a}$≤1，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，存在x₀≥1，使得f（x）-$\frac{a}{2}$x²-x＜$\frac{a}{a-1}$的充要條件為：
g（1）=$\frac{1-a}{2}$-1=$\frac{-1-a}{2}$＜$\frac{a}{a-1}$，解得-$\sqrt{2}$-1＜a＜$\sqrt{2}$-1，
③若$\frac{1}{2}$＜a＜1，則$\frac{a}{1-a}$＞1，故當(dāng)x∈（1，$\frac{a}{1-a}$）時(shí)，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（$\frac{a}{1-a}$，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．
g（x）在（1，$\frac{a}{1-a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{a}{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，存在x₀≥1，使得f（x）-$\frac{a}{2}$x²-x＜$\frac{a}{a-1}$的充要條件為：g（$\frac{a}{1-a}$）＜$\frac{a}{a-1}$，
而g（$\frac{a}{1-a}$）=aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{a^2}{2（1-a）}$+$\frac{a}{a-1}$＞$\frac{a}{a-1}$，所以不合題意．
綜上，a的取值范圍是（-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1）∪（1，+∞）．             …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．