Question

16．已知在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，且在△ABC中，∠BAC=120°，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$．

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球體積．

解答 解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴2r=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴r=2，
∵PA⊥面ABC，PA=2，
∴該三棱錐的外接球的半徑為$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴該三棱錐的外接球的體積$\frac{4}{3}π•（\sqrt{5}）^{3}$=$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$．
故答案為：$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$．

點評 本題考查三棱錐的外接球體積，考查學生的計算能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關鍵．