Question

2．已知f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，
（1）若a=1，b=-1，求f（x）的最大值和最小值；
（2）當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，是否存在常數(shù)a，b∈Q，使得f（x）的值域為[-3，$\sqrt{3}$-1]？若存在，求出a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）a=1，b=-1，f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，即可求f（x）的最大值和最小值；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域，得-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$然后分a的正負進行討論，建立關于a、b的方程組，解之可得存在a=-1，b=1，符合題意

解答 解：（1）a=1，b=-1，f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（x）的最大值為3，最小值-1；
（2）存在a=-1，b=1滿足要求．
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴$\frac{2π}{3}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{3}$，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
若存在這樣的有理a，b，則
（1）當a＞0時，$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}a+2a+b=-3}\\{2a+2a+b=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$無解．
（2）當a＜0時，$\left\{\begin{array}{l}{2a+2a+b=-3}\\{-\sqrt{3}a+2a+b=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=1，
即存在a=-1，b=1滿足要求．

點評 本題給出三角函數(shù)表達式，討論使得函數(shù)值域為已知區(qū)間的參數(shù)取值范圍．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質、三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識，屬于中檔題．