Question

4．甲、乙、丙人應(yīng)邀參加某綜藝欄目的猜數(shù)游戲，猜中則游戲結(jié)束，主持人先給出數(shù)字所在區(qū)間[3，10]，讓甲猜（所猜數(shù)字為整數(shù)，下同），如果甲猜中，甲將獲得1000元獎金；如果甲未猜中，主持人給出數(shù)字所在區(qū)間[5，8]，讓乙猜，如果乙猜中，甲和乙均可獲得5000元獎金；如果乙未猜中，主持人給出數(shù)字所在區(qū)間[6，7]，讓丙猜，如果丙猜中，甲、乙和丙均可獲得2000元獎金，否則游戲結(jié)束．
（1）求甲至少獲得5000元獎金的概率；
（2）記乙獲得的獎金為X元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記“甲至少獲得5000元獎金”為事件A，利用互斥事件概率加法公式及相互獨立事件概率乘法公式能求出甲至少獲得5000元獎金的概率．
（2）由題意X的可能取值為0，2000，5000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及EX．

解答 解：（1）記“甲至少獲得5000元獎金”為事件A，
則P（A）=$\frac{1}{8}+\frac{7}{8}×\frac{1}{4}$=$\frac{11}{32}$．
（2）由題意X的可能取值為0，2000，5000，
P（X=0）=$\frac{1}{8}+\frac{7}{8}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{29}{64}$，
P（X=2000）=$\frac{7}{8}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{21}{64}$，
P（X=5000）=$\frac{7}{8}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{32}$，
∴X的分布列為：

X	0	2000	5000
P	$\frac{29}{64}$	$\frac{21}{64}$	$\frac{7}{32}$

EX=$0×\frac{29}{64}+2000×\frac{21}{64}$+$5000×\frac{7}{32}$=1750．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式及相互獨立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．