Question

9．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點M是橢圓上任意一點，點A的坐標(biāo)為（2，1），求|MF₁|+|MA|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 連結(jié)MF₂，作過A、F₂的直線交橢圓于M₁、M₂兩點．根據(jù)橢圓的定義算出|MF₁|+|MA|=10-|MF₂|+|MA|=10+（|MA|-|MF₂|），由平面幾何知識得-|AF₂|≤|MA|-|MF₂|≤|AF₂|，再利用兩點間的距離公式加以計算，可得|MF₁|+|MA|的最值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=3，
由橢圓的定義可得，|MF₁|+|MF₂|=2a=10，
即|MF₁|=10-|MF₂|，
則|MF₁|+|MA|=10-|MF₂|+|MA|=10+（|MA|-|MF₂|），
當(dāng)點M位于M₁時，|MA|-|MF₂|的差最小，
其值為-|AF₂|=-$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-1）^{2}}$=-$\sqrt{2}$，
此時|MF₁|+|MA|也得到最小值，其值為10-$\sqrt{2}$；
當(dāng)點M位于M₂時，|MA|-|MF₂|的差最大，其值為|AF₂|=$\sqrt{2}$，
此時|MF₁|+|MA|也得到最大值，其值為10+$\sqrt{2}$．

點評 本題給出橢圓的右焦點，橢圓內(nèi)一個定點，求橢圓上動點M到定點、焦點兩點的距離和的最值．著重考查了兩點間的距離公式、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，屬于中檔題．