Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P在橢圓上，且PF₁⊥x軸，直線AP交y軸于點(diǎn)Q，若$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$，則橢圓的離心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由PF₁⊥x軸，求得P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），由$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$可知，（-a，t）=3（-c，$\frac{^{2}}{a}$-t），即可求得a=3c，由離心率公式可知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：如圖，因?yàn)镻F₁⊥x軸，A（a，0），
故x_P=c，y_P=$\frac{^{2}}{a}$，即P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
設(shè)Q（0，t）
∵$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$，
（-a，t）=3（-c，$\frac{^{2}}{a}$-t），
a=3c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$
故選B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．