Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求$f（\frac{7π}{8}）$的值；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），由f（x）是偶函數(shù)，可得φ=$\frac{2π}{3}$+kπ（k∈Z），結(jié)合范圍0＜φ＜π，可求φ，利用周期公式可求ω，即可求得函數(shù)解析式為f（x）=2cos 2x．利用誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求值得解．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得解析式g（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$），令2x+$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，即可解得對(duì)稱軸方程，令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{3π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，即可解得單調(diào)遞增區(qū)間，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{3π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）
=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$cos（ωx+φ）
=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，
則φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），
所以φ=$\frac{2π}{3}$+kπ（k∈Z），
又因?yàn)?＜φ＜π，
所以φ=$\frac{2π}{3}$，
所以f（x）=2sin（$ωx+\frac{π}{2}$）=2cosωx．
由題意得$\frac{2π}{ω}$=2•$\frac{π}{2}$，
所以ω=2．
故f（x）=2cos 2x．
因此$f（\frac{7π}{8}）$=2cos$\frac{7π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（2）g（x）=2cos 2x+2cos 2（x+$\frac{π}{4}$）
=2cos 2x+2cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=2cos 2x-2sin 2x
=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$），
令2x+$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，解得對(duì)稱軸x=-$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{3π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得：-$\frac{5π}{8}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{3π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得：-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z，
所以函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸x=-$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{5π}{8}$+kπ，-$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z，單調(diào)遞減區(qū)間為：[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．