16.已知△ABC中,G是重心,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且56a$\overrightarrow{GA}$+40b$\overrightarrow{GB}$+35c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$,則∠B=60°.

分析 由G為三角形的重心,根據(jù)中線的性質(zhì)及向量的加法法則分別表示出$\overrightarrow{GA}$,$\overrightarrow{GC}$和$\overrightarrow{GB}$,代入化簡后的式子中,然后又根據(jù)$\overrightarrow{CA}$等于$\overrightarrow{CB}$加$\overrightarrow{BA}$,把上式進行化簡,最后得到關(guān)于$\overrightarrow{BA}$和$\overrightarrow{BC}$的關(guān)系式,由$\overrightarrow{BA}$和$\overrightarrow{BC}$為非零向量,得到兩向量前的系數(shù)等于0,列出關(guān)于a,b及c的方程組,不妨令c=56,即可求出a與b的值,然后根據(jù)余弦定理表示出cosB,把a,b,c的值代入即可求出cosB的值,由B的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到B的度數(shù).

解答 解:因為由點G為三角形的重心,根據(jù)中線的性質(zhì)及向量加法法則得:
3$\overrightarrow{GA}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}$,3$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{AB}$,3$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$,
代入上式得:56a($\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}$)+40b($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$)+35($\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$)=$\overrightarrow{0}$,
又$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$,上式可化為:
56a(2$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{CB}$)+40b($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CB}$)+35c(-$\overrightarrow{BA}$+2$\overrightarrow{BC}$)=$\overrightarrow{0}$,
即(112a-40b-35c)$\overrightarrow{BA}$+(-56a-40b+70c)$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$,
則有$\left\{\begin{array}{l}{112a-40b-35c=0}\\{-56a-40b+70c=0}\end{array}\right.$,
令c=56,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=35}\\{b=49}\end{array}\right.$,
所以cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{3{5}^{2}+5{6}^{2}-4{9}^{2}}{2×35×56}$=$\frac{1}{2}$,
∵B∈(0°,180°),
∴B=60°.
故答案為:60°.

點評 本題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值,掌握向量的加法法則及中線的性質(zhì),對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,易出錯,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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