Question

7．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
（Ⅰ）求f（x）的周期和單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{4}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用輔助角公式或二倍角和兩角和余差的基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）x在[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{4}$]上，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
化簡(jiǎn)可得：f（x）=4cosxsinxcos$\frac{π}{6}$+4cosx•cosxsin$\frac{π}{6}$-1=$2\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（Ⅰ）f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
令2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得：kπ$+\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，（k∈Z）；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ$+\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）：x在[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{4}$]上，
∴2x$+\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]．
故f（x）∈[-1，2]，
∴f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{4}$]上的取值范圍是[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．