Question

7．△ABC，滿足bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC邊上的中線BD長為$\sqrt{21}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件，利用正弦定理，結(jié)合輔助角公式，即可求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC邊上的中線BD長為$\sqrt{21}$，建立關(guān)于c的方程，利用三角形的面積公式求△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）由已知條件得：$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC-sinA-sinC=0$…（2分）
∴$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC-sin（B+C）-sinC=0$…（3分）
即$\sqrt{3}sinBsinC-cosBsinC-sinC=0$．
∵sinC＞0得$\sqrt{3}sinB-cosB=1$，∴$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$…（5分）
又$B-\frac{π}{6}∈（0，\frac{5π}{6}）$，∴$B-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，∴$B=\frac{π}{3}$…（7分）
（II）由已知得：$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，平方得：$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{BD}$²，…（10分）
即c²+a²+2cacos$\frac{π}{3}$=84，
又a=2，∴c²+2c-80=0
解得：c=8或c=-2（舍去）…（12分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$-$\frac{1}{2}×2×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，輔助角公式，考查三角形的面積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．