Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-ax-b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，求證：x₁+2x₀=0；
（3）設(shè)a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≤0時(shí)f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）由條件判斷出a＞0，且x₀≠0，由f′（x₀）=0求出x₀，分別代入解析式化簡(jiǎn)f（x₀），f（-2x₀），化簡(jiǎn)整理后可得證；
（3）設(shè)g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值M，根據(jù)極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系對(duì)a分三種情況討論，運(yùn)用f（x）單調(diào)性和前兩問的結(jié)論，求出g（x）在區(qū)間上的取值范圍，利用a的范圍化簡(jiǎn)整理后求出M，再利用不等式的性質(zhì)證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）若f（x）=x³-ax-b，則f′（x）=3x²-a，
分兩種情況討論：
①、當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）=3x²-a≥0恒成立，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），
②、當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3x²-a=0，解得x=$-\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x=$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
當(dāng)x＞$\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$時(shí)，f′（x）=3x²-a＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{3}$時(shí)，f′（x）=3x²-a＜0，f（x）為減函數(shù)，
故f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）；
（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x₀，則必有a＞0，且x₀≠0，
由題意可得，f′（x）=3x²-a，則x₀²=$\frac{a}{3}$，
進(jìn)而f（x₀）=x₀³-ax₀-b=-$\frac{2a}{3}$x₀-b，
又f（-2x₀）=-8x₀³+2ax₀-b=-$\frac{8}{3}$x₀+2ax₀-b=f（x₀），
由題意及（Ⅰ）可得：存在唯一的實(shí)數(shù)x₁，滿足f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，
則有x₁=-2x₀，故有x₁+2x₀=0；
（Ⅲ）設(shè)g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y兩個(gè)數(shù)的最大值，
下面分三種情況討論：
①當(dāng)a≥3時(shí)，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$≤-1＜1≤$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
由（I）知f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間[-1，1]上的取值范圍是[f（1），f（-1）]，
因此M=max{|f（1）|，|f（-1）|}=max{|1-a-b|，|-1+a-b|}
=max{|a-1+b|，|a-1-b|}=$\left\{\begin{array}{l}{a-1+b，b≥0}\\{a-1-b，b＜0}\end{array}\right.$，
所以M=a-1+|b|≥2
②當(dāng)$\frac{3}{4}≤$a＜3時(shí)，$-\frac{2\sqrt{3a}}{3}≤-1＜-\frac{\sqrt{3a}}{3}＜\frac{\sqrt{3a}}{3}＜1≤$$\frac{2\sqrt{3a}}{3}$，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（-1）≥$f（-\frac{2\sqrt{3a}}{3}）$=f（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），f（1）≤$f（\frac{2\sqrt{3a}}{3}）$=$f（-\frac{\sqrt{3a}}{3}）$，
所以f（x）在區(qū)間[-1，1]上的取值范圍是[f（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），f（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）]，
因此M=max{|f（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）|，|f（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）|}=max{|$-\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-b$|，|$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-b$|}
=max{|$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}+b$|，|$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}-b$|}=$\frac{2a}{9}\sqrt{3a}+|b|$$≥\frac{2}{9}×\frac{3}{4}×\sqrt{3×\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}$，
③當(dāng)0＜a＜$\frac{3}{4}$時(shí)，$-1＜-\frac{2\sqrt{3a}}{3}＜\frac{2\sqrt{3a}}{3}＜1$，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（-1）＜$f（-\frac{2\sqrt{3a}}{3}）$=f（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），f（1）＞$f（\frac{2\sqrt{3a}}{3}）$=$f（-\frac{\sqrt{3a}}{3}）$，
所以f（x）在區(qū)間[-1，1]上的取值范圍是[f（-1），f（1）]，
因此M=max{|f（-1）|，|f（1）|}=max{|-1+a-b|，|1-a-b|}
=max{|1-a+b|，|1-a-b|}=1-a+|b|＞$\frac{1}{4}$，
綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，不等式的證明，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和轉(zhuǎn)化思想，考查分析法在證明中的應(yīng)用，以及化簡(jiǎn)整理、運(yùn)算能力，屬于難題．