Question

已知f（x）=x²+bx+2．
（1）若f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，3]上最大值為8，求實(shí)數(shù)b的值；
（3）若函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镈，[p，q]⊆D，用分法T：p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n=q將區(qū)間[p，q]任意劃分成n個(gè)小區(qū)間，如果存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得不等式|g（x₁）-g（x₀）|+|g（x₂）-g（x₁）|+|g（x₃）-g（x₂）|+…+|g（x_n）-g（x_n-1）|≤M恒成立，則稱函數(shù)g（x）在區(qū)間[p，q]上具有性質(zhì)σ（M）．試判斷當(dāng)b=-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，3]上是否具有性質(zhì)σ（M）？若是，求M的最小值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由題意，f（x）=x²+bx+2圖象開口向上，對(duì)稱軸x=-

b

2

；故-

b

2

≥1∴b≤-2；
（II）討論對(duì)稱軸的位置，分當(dāng)-

b

2

≤2， b≥-4時(shí)，當(dāng)-

b

2

＞2， b＜-4時(shí)討論函數(shù)的最大值，從而求b；
（III）當(dāng)b=-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，而在[1，3]單調(diào)遞增，從而可得必存在i∈（0，n），使得x_i-1≤1，x_i＞1；則|g（x₁）-g（x₀）|+|g（x₂）-g（x₁）|+|g（x₃）-g（x₂）|+…+|g（x_n）-g（x_n-1）|=g（x₀）-g（x₁）+g（x₁）-g（x₂）+…+g（x_i-2）-g（x_i-1）+|g（x_i-1）-g（x_i）|+g（x_i+1）-g（x_i）+g（x_i+2）-g（x_i+1）+…+g（x_n）-g（x_n-1）=g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+|g（x_i-1）-g（x_i）|（*）；故只需討論g（x_i-1）-g（x_i）的正負(fù)即可，從而求解．

解答： 解：（I）f（x）=x²+bx+2圖象開口向上，對(duì)稱軸x=-

b

2

依題意：-

b

2

≥1∴b≤-2；
（II）當(dāng)-

b

2

≤2， b≥-4時(shí)，
f_max（x）=f（3）=11+3b=8，
∴b=-1；
當(dāng)-

b

2

＞2， b＜-4時(shí)，
f_max（x）=f（1）=3+b=8，
∴b=5（舍去）；
綜上所述：b=-1；
（III）當(dāng)b=-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，而在[1，3]單調(diào)遞增，
對(duì)任意劃分T：0=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=3，
必存在i∈（0，n），使得x_i-1≤1，x_i＞1；
g（0）=g（x₀）＞g（x₁）＞…＞g（x_i-2）＞g（x_i-1）≥g（1）；
g（1）＜g（x_i）＜g（x_i+1）＜…＜g（x_n-1）＜g（x_n）=g（3）；
|g（x₁）-g（x₀）|+|g（x₂）-g（x₁）|+|g（x₃）-g（x₂）|+…+|g（x_n）-g（x_n-1）|
=g（x₀）-g（x₁）+g（x₁）-g（x₂）+…+g（x_i-2）-g（x_i-1）+|g（x_i-1）-g（x_i）|+g（x_i+1）-g（x_i）+g（x_i+2）-g（x_i+1）+…+g（x_n）-g（x_n-1）
=g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+|g（x_i-1）-g（x_i）|（*）；
（法一）：當(dāng)g（x_i-1）≥g（x_i）時(shí)，
（*）=g（x₀）+g（x_n）-2g（x_i）＜g（x₀）+g（x_n）-2g（1）=g（0）+g（3）-2g（1）=5；
當(dāng)g（x_i-1）＜g（x_i）時(shí)，
（*）=g（x₀）+g（x_n）-2g（x_i-1）＜g（x₀）+g（x_n）-2g（1）=g（0）+g（3）-2g（1）=5；
所以存在常數(shù)M≥5，使得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
所以M的最小值為5．
（法二）：（*）=g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+|g（x_i-1）-g（1）+g（1）-g（x_i）|
≤g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+|g（x_i-1）-g（1）|+|g（1）-g（x_i）|
=g（x₀）-g（x_i-1）+g（x_n）-g（x_i）+g（x_i-1）-g（1）+g（x_i）-g（1）
=g（x₀）+g（x_n）-2g（1）
=g（0）+g（3）-2g（1）=5；
所以存在常數(shù)M≥5，使得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
所以M的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及絕對(duì)值問題，屬于難題．