【題目】已知關(guān)于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).
(Ⅰ)解該不等式;
(Ⅱ)定義區(qū)間(m,n)的長度為d=n﹣m,若a∈R,求該不等式解集表示的區(qū)間長度的最大值.
【答案】(1)當(dāng)1<a<2時(shí),原不等式的解為a2+2<x<3a,
當(dāng)a=1或a=2時(shí),原不等式的解集為,
當(dāng)a<1或a>2時(shí),原不等式的解為3a<x<a2+2.
(2)當(dāng)a=4時(shí),dmax=6.
【解析】試題分析:(1)先考慮因式分解,再比較兩根關(guān)系,當(dāng)1<a<2時(shí),原不等式的解為a2+2<x<3a,當(dāng)a=1或a=2時(shí),原不等式的解集為,當(dāng)a<1或a>2時(shí),原不等式的解為3a<x<a2+2.(2),求該式子的最值即可.
(Ⅰ)原不等式可化為(x-a2-2)(x﹣3a)<0,
當(dāng)a2+2<3a,即1<a<2時(shí),原不等式的解為a2+2<x<3a;
當(dāng)a2+2=3a,即a=1或a=2時(shí),原不等式的解集為;
當(dāng)a2+2>3a,即a<1或a>2時(shí),原不等式的解為3a<x<a2+2.
綜上所述,當(dāng)1<a<2時(shí),原不等式的解為a2+2<x<3a,
當(dāng)a=1或a=2時(shí),原不等式的解集為,
當(dāng)a<1或a>2時(shí),原不等式的解為3a<x<a2+2.
(Ⅱ)當(dāng)a=1或a=2時(shí),該不等式解集表示的區(qū)間長度不可能最大.當(dāng)a≠1且a≠2時(shí),
,a∈R.設(shè)t=a2+2﹣3a,a∈R,則當(dāng)a=0時(shí),t=2,當(dāng) 時(shí), ,當(dāng)a=4時(shí),t=6,∴當(dāng)a=4時(shí),dmax=6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a≥0)
(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求y=f(x)在區(qū)間(0,2]上的最大值.
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【題目】已知p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切 恒成立;q:函數(shù)f(x)=-(5-2a)x在R上是減函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍( )。
A.
B.B、
C.C、
D.a≥-2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù) .
(1)若f(x)是奇函數(shù),求m的值;
(2)當(dāng)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說明理由;
(3)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|a<x<a+5}.
(1)求A∪B,(RA)∩B;
(2)若CB,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列命題中
①函數(shù)f(x)=在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù);
②已知定義在R上周期為4的函數(shù)f(x)滿足f(2﹣x)=f(2+x),則f(x)一定為偶函數(shù);
③若f(x)為奇函數(shù),則f(x)dx=2f(x)dx(a>0);
④已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則a+b+c=0是f(x)有極值的充分不必要條件;
⑤已知函數(shù)f(x)=x﹣sinx,若a+b>0,則f(a)+f(b)>0.
其中正確命題的序號(hào)為________(寫出所有正確命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲(水生植物名)生一日,長三尺;莞(植物名,俗稱水蔥、席子草)生一日,長一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?”意思是:今有蒲生長1日,長為3尺;莞生長1日,長為1尺.蒲的生長逐日減半,莞的生長逐日增加1倍.若蒲、莞長度相等,則所需的時(shí)間約為( )(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):,)( )
A. 1.3日 B. 1.5日 C. 2.6日 D. 2.8日
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在上的奇函數(shù),設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時(shí),恒有,令,則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知☉O1和☉O2的極坐標(biāo)方程分別是ρ=2cosθ和ρ=2asinθ(a是非零常數(shù))
(1)將兩圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程
(2)若兩圓的圓心距為 ,求a的值
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