Question

4．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）•（{{y_i}-\overline y}）}$	$\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}•（{{y_i}-\overline y}）$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1 469	108.8

表中w_i=$\sqrt{x}$i，$\overline w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i．
（1）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z=0.2y-x．根據(jù)（2）的結果回答下列問題：
①年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{{v_i}-\overline v}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}，\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)散點圖，即可判斷出，
（2）先建立中間量w=$\sqrt{x}$，建立y關于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問題得以解決；
（3）①年宣傳費x=49時，代入到回歸方程，計算即可，
②求出預報值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出．

解答 解：（1）由散點圖可以判斷，y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型．
（2）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關于w的線性回歸方程．
由于 d=$\frac{108.8}{.6}$=68，c=$\overline{y}$-d$\overline{w}$=100.6，
所以y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，
因此y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68$\sqrt{x}$．
（3）①由（2）知，當x=49時，
年銷量y的預報值y=100.6+68•$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤z的預報值z=576.6×0.2-49=66.32．
②根據(jù)（2）的結果知，年利潤z的預報值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12．
所以當$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8，即x=46.24時，z取得最大值．
故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是本題的關鍵，屬于中檔題．