Question

10．已知函數$f（x）=x+\frac{k}{x}$且f（1）=2．
（1）求實數k的值及函數的定義域；
（2）判斷函數在（1，+∞）上的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=2便可求出k=1，并容易求出函數f（x）的定義域；
（2）可以判斷$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（1，+∞）上為增函數，根據增函數的定義，設任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，提取公因式，從而可證明f（x₁）＞f（x₂），這便可得出f（x）在（1，+∞）上為增函數．

解答 解：（1）f（1）=1+k=2；
∴k=1，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，定義域為{x∈R|x≠0}；
（2）為增函數；
證明：設x₁＞x₂＞1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）+（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₁-x₂＞0，$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜1$，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上為增函數．

點評 考查已知函數求值的方法，函數定義域的概念及求法，增函數的定義，根據增函數的定義證明一個函數為增函數的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般需提取公因式x₁-x₂．