Question

5．現(xiàn)給出下列結(jié)論：
（1）在△ABC中，若sinA＞sinB則a＞b；
（2）$sin\frac{π}{4}sin（x+\frac{π}{4}）$是sinx和cosx的等差中項(xiàng)；
（3）函數(shù)y=sinx+2cosx的值域?yàn)閇-3，3]；
（4）振動(dòng)方程$y=-2sin（2x+\frac{π}{8}）$（x≥0）的初相為$\frac{π}{8}$；
（5）銳角三角形ABC中，可能有cosA+cosB+cosC＞sinA+sinB+sinC．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，即可判斷出真假；
（2）2$sin\frac{π}{4}sin（x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$，展開即可判斷出真假；
（3）函數(shù)y=sinx+2cosx=$\sqrt{5}$sin（x+θ）∈$[-\sqrt{5}，\sqrt{5}]$，即可判斷出真假；
（4）振動(dòng)方程$y=-2sin（2x+\frac{π}{8}）$=2sin$（2x+\frac{9π}{8}）$（x≥0），即可得出初相；
（5）銳角三角形ABC中，由$0＜\frac{π}{2}-A＜B＜\frac{π}{2}$，可得$sin（\frac{π}{2}-A）$＜sinB，即cosA＜sinB，同理可得：cosB＜sinC，cosC＜sinA，即可判斷出真假．

解答 解：（1）在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，則a＞b，正確；
（2）2$sin\frac{π}{4}sin（x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）$=sinx+cosx，因此$sin\frac{π}{4}sin（x+\frac{π}{4}）$是sinx和cosx的等差中項(xiàng)，正確；
（3）函數(shù)y=sinx+2cosx=$\sqrt{5}$sin（x+θ）∈$[-\sqrt{5}，\sqrt{5}]$，因此不正確；
（4）振動(dòng)方程$y=-2sin（2x+\frac{π}{8}）$=2sin$（2x+\frac{9π}{8}）$（x≥0）的初相為$\frac{9π}{8}$，不正確；
（5）銳角三角形ABC中，由$0＜\frac{π}{2}-A＜B＜\frac{π}{2}$，可得$sin（\frac{π}{2}-A）$＜sinB，即cosA＜sinB，同理可得：cosB＜sinC，cosC＜sinA，
因此cosA+cosB+cosC＜sinA+sinB+sinC，不正確．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、正弦定理的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)及其求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．