Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，S_n為其前n項和，2S₁，2S₃，5S₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₁|+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₂|+…+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a_n+2|（b_n≠0），求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是等比數(shù)列設公比為q，首項a₁=1，由2S₁，2S₃，5S₂成等差數(shù)列，4S₃=2S₁+5S₂，整理得4q²-q-3=0，
解得q=1，或q=-$\frac{3}{4}$，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出其通項公式，
（2）由b_n=根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)寫出{$\frac{1}{_{n}}$}的通項公式，b_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，采用裂項法，$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），求得T_n=$\frac{n}{n+2}$．

解答 解：（1）等比數(shù)列{a_n}首項a₁=1，設公比為q，
其通項公式a_n=a₁q^n-1=q^n-1，
2S₁，2S₃，5S₂成等差數(shù)列，4S₃=2S₁+5S₂，
4（1+q+q²）=2+5（1+q），
整理得：4q²-q-3=0，
解得q=1或q=-$\frac{3}{4}$，
∴a_n=1或a_n=$（-\frac{3}{4}）^{n-1}$；
（2）b_n=log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₁|+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₂|+…+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a_n+2|（b_n≠0），
當a_n=1，b_n=0不滿足（b_n≠0），
當a_n=$（-\frac{3}{4}）^{n-1}$，
b_n=log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₁|+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₂|+…+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a_n+2|，
=0+1+2+3+…+n+n+1，
=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
T_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$，
=2[（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）]，
=$\frac{n}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{n}{n+2}$．

點評 本題考查求等比數(shù)列的通項公式及采用裂項法求數(shù)列的前n項和，過程簡單，屬于中檔題．