Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=t，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設(shè)b_n=log₃a_n+1：T_n是數(shù)列 {$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$} 前n項(xiàng)和，求T₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．n≥2時(shí)，可得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化為a_n+1=3a_n．又a₂=2t+1，當(dāng)2t+1=3t時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（II）由（I）可得：a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=n.$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）a₁=t，∵a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．∴n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+1，可得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化為a_n+1=3a_n．
又a₂=2a₁+1=2t+1，當(dāng)2t+1=3t，即t=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3．
（II）由（I）可得：a_n=3^n-1，∴b_n=log₃a_n+1=n．
$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列 {$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$} 前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴T₂₀₁₁=$\frac{2011}{2012}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．