Question

11．將函數(shù)f（x）=sinx的圖象向上平移1個(gè)單位得到圖象C₁，再將C₁上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍（橫坐標(biāo)不變）得到C₂，最后將C₂向左平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到g（x）的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式，并求其值域和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）已知關(guān)于x的方程3f（x）+g（x）=m+4在[0，π]內(nèi)有兩個(gè)不同的解α、β：
①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②證明：$m=5cos\frac{α-β}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)圖象來(lái)求其值域和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果和已知條件可以推知3sinx+4cosx=m．
①令F（x）=3sinx+4cosx=5sin（x+φ）（0≤x≤π），結(jié)合函數(shù)圖象解答；
②由α、β是方程3sinx+4cosx=m即5sin（x+φ）=m的不同二根得到：$sin（{α+φ}）=\frac{m}{5}$，$sin（{β+φ}）=\frac{m}{5}$．利用角的等價(jià)轉(zhuǎn)換推知：$cos（{α-β}）=-cos2（{β+φ}）=2{sin^2}（{β+φ}）-1=\frac{{2{m^2}}}{25}-1$，
所以利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答 解：（Ⅰ）C₁：y=sinx+1→C₂：y=4sinx+4
∴$g（x）=4sin（{x+\frac{π}{2}}）+4$即g（x）=4cosx+4
∴g（x）的值域是[0，8]，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）…（4分）
（Ⅱ）由3f（x）+g（x）=m+4得3sinx+4cosx=m
①令F（x）=3sinx+4cosx（0≤x≤π），則F（x）=5sin（x+φ），可取$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$且$sinφ=\frac{4}{5}$，$cosφ=\frac{3}{5}$
從而得到y(tǒng)=F（x）的圖象如圖所示：

∴m的取值范圍是[4，5）；
證明：②由①知：α+β=π-2φ即α=π-2φ-β．
∵α、β是方程3sinx+4cosx=m即5sin（x+φ）=m的不同二根，
∴$sin（{α+φ}）=\frac{m}{5}$，$sin（{β+φ}）=\frac{m}{5}$．
而α-β=（π-2φ-β）-β=π-2（β+φ），
∴$cos（{α-β}）=-cos2（{β+φ}）=2{sin^2}（{β+φ}）-1=\frac{{2{m^2}}}{25}-1$，
∴${m^2}=\frac{25}{2}[{1+cos（{α-β}）}]=25{cos^2}\frac{α-β}{2}$．
∵$-\frac{π}{2}＜\frac{α-β}{2}＜\frac{π}{2}$，
∴$cos\frac{α-β}{2}＞0$．
∵m＞0，
∴$m=5cos\frac{α-β}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想．