Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-4x+4．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）求 函數(shù)f（x）閉區(qū)間[-2，m]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）通過討論m的范圍，求出函的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-4，
令f′（x）=0，得x₁=-2，x₂=2，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＜-2或x＞2時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即-2＜x＜2時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有極大值，且f（-2）=$\frac{28}{3}$，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值，且f（2）=-$\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
若-2＜m≤2，則f（x）在（-2，m]遞減，
f（x）_min=f（m）=$\frac{1}{3}$m³-4m+4，
若m＞2，則f（x）在（-2，2）遞減，在（2，m]遞增，
f（x）_min=f（2）=$\frac{8}{3}$-8+4=-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．