Question

已知函數(shù)f（x）=

|x+1|+|x-a|-2

(a∈R)．
（1）若a=3，解不等式f（x）≥2；
（2）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件根據(jù)絕對(duì)值的意義，|x+1|+|x-3|≥6，再根據(jù)絕對(duì)值的意義求得x的范圍．
（2）由題意可得|x+1|+|x-a|≥2恒成立，再根據(jù)|x+1|+|x-a|≥|a+1|，可得|1+a|≥2，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）若a=3，f（x）=

|x+1|+|x-3|-2

，由不等式f（x）≥2，
可得|x+1|+|x-3|-2≥4，∴|x+1|+|x-3|≥6．
而|x+1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而4和-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，
故由|x+1|+|x-3|≥6可得x≤-2 或x≥4，故原不等式的解集為{x|x≤-2 或x≥4}．
（2）若f（x）的定義域?yàn)镽，則有|x+1|+|x-a|≥2．
∵|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=|1+a|，∴|1+a|≥2，∴a+1≥2或 a+1≤-2，
由此求得a≥1或a≤-3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥1或a≤-3}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值的意義、絕對(duì)值三角不等式，屬于中檔題．