Question

在空間直角坐標(biāo)系D-xyz中，四棱錐P-ABCD的底面是一個(gè)平行四邊形，

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1）
（1）求證：PA⊥底面ABCD
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得

AP

•

AB

=0，

AD

•

AP

=0，由此能證明PA⊥底面ABCD．
（2）由cos＜

AB

，

AD

＞，求得sin＜

AB

，

AD

＞，從而由S_{四邊形ABCD}=|

AB

|×|

AD

|×sin＜

AB

，

AD

＞，求出四邊形ABCD的面積，由

AP

=（-1，2，-1），求出|

AP

|，再由PA⊥底面ABCD，能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：∵

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1），
∴

AP

•

AB

=-2-2+4=0，

AD

•

AP

=-4+4+0=0，
∴

AP

⊥

AB

，

AP

⊥

AD

，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥底面ABCD．
（2）解：∵四棱錐P-ABCD的底面是一個(gè)平行四邊形，

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），
∴cos＜

AB

，

AD

＞=

8-2+0

21 × 20

=

3

105

，∴sin＜

AB

，

AD

＞=

1-( 3 105 )2

=

4 2

35

，
∴S_{四邊形ABCD}=|

AB

|×|

AD

|×sin＜

AB

，

AD

＞=

21

×

20

×

4 2

35

=8

6

，
∵

AP

=（-1，2，-1），∴|

AP

|=

1+4+1

=

6

，
∵PA⊥底面ABCD，
∴四棱錐P-ABCD的體積：
V=

1

3

×|

AP

|×S四邊形ABCD=

1

3

×

6

×8

6

=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．