Question

4．在四邊形ABCD中，若$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DA}$$•\overrightarrow{AB}$，則四邊形ABCD的形狀是（　　）

• A． 矩形
• B． 菱形
• C． 平行四邊形
• D． 任意四邊形

Answer 1

分析 把給出的向量等式變形，可得（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{DA}$=0，有$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{AD}$，從而得到AD∥BC．同理可得AB∥CD．再由（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，
得AB⊥BC，則四邊形ABCD為矩形．

解答 解：由$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DA}$$•\overrightarrow{AB}$，
得（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{DA}$=0，
∴$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{AD}$，即AD∥BC．
同理有AB∥CD，則四邊形ABCD為平行四邊形，
又（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，
∴AB⊥BC，則四邊形ABCD為矩形．
故選：A．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了平面向量的加減法，是中檔題．