Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1=a_n²-na_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜測a_n與n+2的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a_n+1=a_n²-na_n+1、a₁=3代入計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）先證明n=1時不等式成立，再假設(shè)n=k時不等式成立，進而論證n=k+1時，不等式依然成立，最終得到不等式a_n≥n+2恒成立．

解答 解：（Ⅰ）依題意，a₂=a₁²-a₁+1=3²-3+1=7，
a₃=a₂²-2a₂+1=7²-2×7+1=36，
a₄=a₃²-3a₃+1=36²-3×36+1=1189；
（Ⅱ）結(jié)論：a_n≥n+2的關(guān)系．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時，a₁=3=1+2，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時不等式成立，即a_k≥k+2，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1
≥（k+2）（k+2-k）+1
=2k+5
≥k+3，
也就是說，當(dāng)n=k+1時，a_k+1≥（k+1）+2；
由①、②可知：對于所有n≥1，有a_n≥n+2．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．