Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+a（1+lnx）（a≥0）．
（1）求曲線y=f（x）在（2，f（2））處與直線y=-x+1垂直的切線方程．
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出；
（2）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+a（1+lnx），
∴f′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$，
∵曲線y=f（x）在（2，f（2））處與直線y=-x+1垂直，
∴f′（2）=2-（a+1）+$\frac{a}{2}$=1，
∴a=0，
∴f（2）=2-2=0，
∴切線方程為y=x-2，即x-y-2=0
（2）∵$f'（x）=x-a-1+\frac{a}{x}=\frac{（x-1）（x-a）}{x}（x＞0）$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在（a，1）上單調(diào)遞減，在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在x=1處取得極小值$-\frac{1}{2}$，在x=a處取得極大值$-\frac{1}{2}{a^2}+alna$，
當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無極值，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在（1，a）上單調(diào)遞減，在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在x=1處取得極大值$-\frac{1}{2}$，在x=a處取得極小值$-\frac{1}{2}{a^2}+alna$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和最值的關(guān)系，以及分類討論討論的關(guān)系，屬于中檔題