Question

10．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且當(dāng)n≥2時(shí)，a_n²=a_n-1a_a+1，n∈N^•；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過題意可知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，進(jìn)而可求出公比，代入公式即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=（2n-1）2ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，a_n²=a_n-1a_a+1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
又∵a₁=2，a₂=4，
∴公比a=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）2ⁿ，
則S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得：-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．