Question

在△ABC中，BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)A的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的定義,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：以BC邊所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，距離直角坐標(biāo)系．則B（-2，0），C（2，0）．由于BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列，可得2sinA=sinB+sinC，由正弦定理可得：AC+AB=2BC=8＞BC=4，可得點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)，8為實(shí)軸長(zhǎng)的橢圓，除去橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．

解答： 解：以BC邊所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，距離直角坐標(biāo)系．則B（-2，0），C（2，0）．
∵BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列，
∴2sinA=sinB+sinC，
由正弦定理可得：AC+AB=2BC=8＞BC=4，
∴點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)，8為實(shí)軸長(zhǎng)的橢圓，除去橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)要求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(y≠0)，
∵c=2，a=4，∴b²=a²-c²=12．
∴橢圓的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、正弦定理、等差數(shù)列，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．