Question

19．已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=$\frac{1}{2}$，且2a_n+1=a_n（n∈N₊）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求；
（2）求得b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解�。�1）由于數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且2a_n+1=a_n（n∈N₊）．
所以數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
∴a_n=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
（2）由已知b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
∴相減可得-T_n=1×2+1×2²+1×2³+…+1×2^n-1+1×2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式、求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．