Question

已知橢圓的左右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形.

（1）求橢圓方程；

（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明：為定值；

（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

(1)；（2）詳見解析；（3）存在Q(0,0)

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)易得；(2)可設(shè)，寫出直線CM的方程，與橢圓方程聯(lián)立，把P的坐標(biāo)用表示，然后進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運算即可；（3）對于存在性問題，可先假設(shè)定點存在，然后向量進(jìn)行坐標(biāo)運算求出Q（0，0）滿足條件.

試題解析：（1），，橢圓方程為,4分

（2），設(shè)，則,

直線：，即，

代入橢圓得,

，，，

（定值）,10分

（3）設(shè)存在滿足條件，則,

從而得m=0，∴存在Q（0，0）滿足條件.14分

考點：(1)橢圓的簡單幾何性質(zhì)；（2）平面向量的坐標(biāo)運算；（3）存在性問題.