Question

12．已知關(guān)于x的方程x³-ax²-x+1=0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）．

Answer 1

分析 分離參數(shù)a=x$-\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，畫出圖象，求解極值，利用y=a，y=x-$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$交點個數(shù)判斷即可．

解答 解：x³-ax²-x+1=0，
a=x$-\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$，
令y=x$-\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$，
y′=$\frac{{x}^{3}+x-2}{{x}^{3}}$，
x³+x-2=0，x=1
x＜0時y′＞0，
x＞1時，y′＞0，
0＜x＜1時，y′＜0，
∴函數(shù)在（-∞，0），（1，+∞）單調(diào)遞增，在（0，1）單調(diào)遞減，
x=1時，函數(shù)取的極小值為1-1+1=1
∴y=a，與y=x$-\frac{1}{x}$$+\frac{1}{{x}^{2}}$交點為1個時，a＜1，
故答案為：（-∞，1）．

點評 本題考查了函數(shù)的思想，運用求解零點問題，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，利用圖象交點問題求解，屬于中檔題．