Question

3．已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2b_n-1（n∈N^*），
（1）求b₁，b₂，b₃，試猜想出{b_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（2）求和：b₁${C}_{n}^{0}$+b₂${C}_{n}^{1}$+b₃${C}_{n}^{2}$+…+b_n+1${C}_{n}^{n}$
（3）求和：（log₂b₁）•${C}_{n}^{0}$+（log₂b₂）•${C}_{n}^{1}$+（log₂b₃）•${C}_{n}^{2}$+…（log₂b_n+1）•${C}_{n}^{n}$
（4）若M（n）=4+（log₂b_n）•b_n+3，試比較M（n）與8n²-4n的大�。�

Answer 1

分析 （1），先令n=1，2，3，求出其值，猜想b_n=2^n-1，（n∈N^*），再用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)這個(gè)猜想加以證明；
（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理即可求出答案；
（3）直接采用倒序相加法再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（4）分類討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可比較大�。�

解答 解：（1）S_n=2b_n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2b₁-1，即b₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=b₁+b₂=2b₂-1，即b₂=2，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=b₁+b₂+b₃=2b₃-1，即b₂=4，
猜想出{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2^n-1，（n∈N^*），
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即b_k=2^k-1，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，S_K+1=b_k+1+S_k=2b_k+1-1，
∴b_k+1=2b_k-1+1=2•2^k-1=2^k，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立
由①②可知，可知對(duì)于n∈N^*，b_n=2^n-1都成立；
（2）：b₁${C}_{n}^{0}$+b₂${C}_{n}^{1}$+b₃${C}_{n}^{2}$+…+b_n+1${C}_{n}^{n}$=1${C}_{n}^{0}$+2${C}_{n}^{1}$+4${C}_{n}^{2}$+…+2ⁿ${C}_{n}^{n}$=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
（3）∵log₂b_n+1=log₂2ⁿ=n，
∴（log₂b₁）•${C}_{n}^{0}$+（log₂b₂）•${C}_{n}^{1}$+（log₂b₃）•${C}_{n}^{2}$+…（log₂b_n+1）•${C}_{n}^{n}$
=${C}_{n}^{0}$+2${C}_{n}^{1}$+3${C}_{n}^{2}$+…+n•${C}_{n}^{n}$
記S=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
倒序則S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹
∴2S=nc_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1，
（4）M（n）=4+（log₂b_n）•b_n+3=4+（n-1）•2ⁿ⁺²，
∴M（n）-（8n²-4n）=4+（n-1）×2ⁿ⁺²-8n²+4n=（n-1）2ⁿ⁺²-4（2n+1）（n-1）=4（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]
當(dāng)n=1時(shí)，M（n）-（8n²-4n）=0，即M（n）=8n²-4n；
當(dāng)n=2時(shí)，M（n）-（8n²-4n）=4×（2²-5）=-4，即M（n）＜8n²-4n；
當(dāng)n=3時(shí)，M（n）-（8n²-4n）=4×2×（2³-7）=8，即M（n）＞8n²-4n；
當(dāng)n＞3時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的圖象知總有2ⁿ＞（2n+1），
∴n＞3時(shí)，有M（n）＞8n²-4n．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．