Question

8．平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=x-4與拋物線y²=4x交于A、B兩點．
（I）求證：$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
（Ⅱ）在x軸正半軸上是否存在一點P（m，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦直徑的圓都過原點，若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為：x²-12x+16=0，利用數(shù)量積運算性質(zhì)、根與系數(shù)的關系，只要證明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0即可得出．
（II）在x軸正半軸上存在一點P（2p，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦直徑的圓都過原點．
下面給出分析：設經(jīng)過點P的直線方程為：ty+2p=x，設直線與拋物線相交于點E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄）．與拋物線方程聯(lián)立化為：y²-2pty-4p²=0，利用數(shù)量積運算性質(zhì)、根與系數(shù)的關系，只要證明$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=0即可得出．進而得出結(jié)論．再利用中點坐標公式、根與系數(shù)的關系即可得出圓心的軌跡方程．

解答 （I）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化為：x²-12x+16=0，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-4）（x₂-4）=2x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=2×16-4×12+16=0．
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．
（II）解：先考慮一般性結(jié)論：拋物線y²=2px．
在x軸正半軸上存在一點P（2p，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦直徑的圓都過原點．
下面給出證明：設經(jīng)過點P的直線方程為：ty+2p=x，設直線與拋物線相交于點E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty+2p=x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化為：y²-2pty-4p²=0，
△=4p²t²+16p⁴＞0．
∴y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-4p²．
則$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=x₃x₄+y₃y₄=（ty₃+2p）（ty₃+2p）+y₃y₄=（t²+1）y₃y₄+2pt（y₃+y₄）+4p²=-4p²（t²+1）+2pt×2pt+4p²=0．
∴$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{OF}$．
∴在x軸正半軸上存在一點P（2p，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦直徑的圓都過原點．
因此對于：拋物線y²=4x，在x軸正半軸上存在一點P（4，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦直徑的圓都過原點．
∴m=4．
設線段EF的中點G（x₀，y₀）．
由y₁+y₂=2pt=4t=2y₀，解得y₀=2t，
x₁+x₂=ty₁+4+ty₂+4=2ty₀+8=4t²+8，∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2t²+4，
化為：${x}_{0}=2×（\frac{{y}_{0}}{2}）^{2}$+4，∴${y}_{0}^{2}$=2（x₀-4）．（x₀≥4）．
∴圓心G的軌跡方程為：${y}_{0}^{2}$=2（x₀-4）．（x₀≥4），把x₀，y₀分別換成x，y，可得點G的軌跡方程為：y²=2（x-4）（x≥4）．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、向量垂直與數(shù)量積運算性質(zhì)、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．