Question

8．如果橢圓$\frac{y^2}{36}$+$\frac{x^2}{9}$=1的某條弦被點(diǎn)（2，4）平分，則這條弦所在的直線方程是2x+y-8=0（請(qǐng)寫(xiě)出一般式方程）

Answer 1

分析 判斷點(diǎn)（2，4）在橢圓內(nèi)，設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率為k，代入橢圓方程，作差分解，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，可得k=-2，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線的方程．

解答 解：由（2，4）代入橢圓方程，可得$\frac{16}{36}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{8}{9}$＜1，
即點(diǎn)（2，4）在橢圓內(nèi)，
設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率為k，
則$\frac{y_1^2}{36}+\frac{x_1^2}{9}=1，\frac{y_2^2}{36}+\frac{x_2^2}{9}=1$，
兩式相減可得$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{36}$+$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{9}$=0，
則k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又弦中點(diǎn)為（2，4），可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=8，
故k=-2，
故這條弦所在的直線方程y-4=-2（x-2），
整理得2x+y-8=0．
故答案為：2x+y-8=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．