Question

17．已知直線l：ax-y+2=0與圓M：x²+y²-4y+3=0的交點為A、B，點C是圓M上一動點，設點P（0，-1），則|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的最大值為10．

Answer 1

分析 由題意，圓M：x²+y²-4y+3=0可化為x²+（y-2）²=1，利用|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|=|2$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PC}$|≤|2$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PC}$|，即可得出結論．

解答 解：由題意，圓M：x²+y²-4y+3=0可化為x²+（y-2）²=1．
點P（0，-1），M（0，2），C（cosθ，2+sinθ），
|PM|=3，|PC|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+（3+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{10+6sinθ}$≤4，
|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|=|2$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PC}$|≤|2$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PC}$|≤2×3+4=10，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的最大值為10．
故答案為：10．

點評 本題考查圓的方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．