Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b=2，且cos2B+cosB+cos（A-C）=1，則a+2c的最小值時，最大邊所對角的余弦值是-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合正弦和余弦定理以及基本不等式求解即可．

解答 解：由cos2B+cosB+cos（A-C）=1，
可得1-2sin²B+cosB+cosAcosC+sinAsinC=1，
即1-2sin²B-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=1，
即有sinAsinC=sin²B，
由正弦定理得到ac=b²，
而a+2c≥2$\sqrt{2ac}$=2$\sqrt{2}$b，
由b=2，可得（a+2c）_min=4$\sqrt{2}$，
當且僅當a=2c=2$\sqrt{2}$，取得最小值，
由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4+2-8}{2×2×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦和余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，考查運算求解的能力，屬于中檔題．