Question

2．在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為菱形，側(cè)面ABE為等邊三角形，且側(cè)面ABE⊥底面BCDE，O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AO⊥CD；
（Ⅱ）求證：平面AOF⊥平面ACE；
（Ⅲ）側(cè)棱AC上是否存在點(diǎn)P，使得BP∥平面AOF？若存在，求出$\frac{AP}{PC}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由等邊三角形知識得AO⊥BE，利用面面垂直的性質(zhì)得出AO⊥平面BCDE，故而AO⊥CD；
（II）連結(jié)BD，由菱形性質(zhì)得出CE⊥BD，又AO⊥平面BCDE，故AO⊥CE，由中位線性質(zhì)得BD∥EF，故而CE⊥平面AOF，所以平面AOF⊥平面ACE；
（III）設(shè)CE 與BD，OF 的交點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)AN，PM．則當(dāng)平面BPM∥平面AOF時，BP∥平面AOF，故只需$\frac{AP}{PC}=\frac{NM}{MC}$即可．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)椤鰽BE 為等邊三角形，O 為BE 的中點(diǎn)，
所以AO⊥BE．又因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AO?平面ABE，
所以AO⊥平面BCDE．又因?yàn)镃D?平面BCDE，
所以AO⊥CD．
（Ⅱ）連結(jié)BD，因?yàn)樗倪呅蜝CDE 為菱形，
所以CE⊥BD．
因?yàn)镺，F(xiàn) 分別為BE，DE 的中點(diǎn)，
所以O(shè)F∥BD，所以CE⊥OF．
由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE．
因?yàn)镃E?平面BCDE，所以AO⊥CE．
因?yàn)锳O∩OF=O，所以CE⊥平面AOF．
又因?yàn)镃E?平面ACE，
所以平面AOF⊥平面ACE．
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P 為AC 上的三等分點(diǎn)（靠近A 點(diǎn)）時，BP∥平面AOF．
證明如下：
設(shè)CE 與BD，OF 的交點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)AN，PM．
因?yàn)樗倪呅蜝CDE 為菱形，O，F(xiàn) 分別為BE，DE 的中點(diǎn)，
所以$\frac{NM}{MC}=\frac{1}{2}$．
設(shè)P為AC上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
則$\frac{AP}{PC}=\frac{NM}{MC}=\frac{1}{2}$，所以PM∥AN．
因?yàn)锳N?平面AOF，PM?平面AOF，所以PM∥平面AOF．
由于BD∥OF，OF?平面AOF，BD?平面AOF，
所以BD∥平面AOF，即BM∥平面AOF．
因?yàn)锽M∩PM=M，
所以平面BMP∥平面AOF．
因?yàn)锽P?平面BMP，所以BP∥平面AOF．
∴側(cè)棱AC 上存在點(diǎn)P，使得BP∥平面AOF，且$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直，面面垂直的判定，線面平行的判定，屬于中檔題．