Question

9．已知拋物線E：y²=4x的焦點是F，過點F的直線l與拋物線E相交于A，B兩點，O為原點．
（Ⅰ）若直線l的斜率為1，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）設$\overrightarrow{FB}$=t$\overrightarrow{AF}$，若t∈[2，4]，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點坐標，由題意可得直線l的方程，代入拋物線方程，運用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到所求值；
（Ⅱ）設直線l：x=my+1，代入拋物線的方程，運用韋達定理和向量的坐標，得到m，t的關(guān)系式，求得|m|的范圍，注意運用換元法和函數(shù)的單調(diào)性，即可得到直線l的斜率的范圍．

解答 解：（Ⅰ）拋物線E：y²=4x的焦點是F（1，0），
直線l的斜率為1，可得直線l的方程為y=x-1，
代入拋物線的方程可得，x²-6x+1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-1）（x₂-1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1
=2-6+1=-3；
（Ⅱ）設直線l：x=my+1，
代入y²=4x，可得y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{FB}$=t$\overrightarrow{AF}$，可得y₂=t（0-y₁），
解得y₁=$\frac{4m}{1-t}$，y₂=-$\frac{4mt}{1-t}$，
即有-4=-t•（$\frac{4m}{1-t}$）²，
由t∈[2，4]，可得
2|m|=$\sqrt{t}$-$\frac{1}{\sqrt{t}}$，
令u=$\sqrt{t}$（$\sqrt{2}$≤u≤2），則y=u-$\frac{1}{u}$在[$\sqrt{2}$，2]上遞增，
即有y∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，即|m|∈[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3}{4}$]．
則直線l的斜率的絕對值范圍是[$\frac{4}{3}$，2$\sqrt{2}$]，
即有直線l的斜率的范圍為[-2$\sqrt{2}$，-$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{4}{3}$，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查拋物線的方程及運用，主要是聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，考查直線的斜率公式和直線方程的運用，同時考查向量的坐標運算，注意運用方程思想和轉(zhuǎn)化思想，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．