Question

19．某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）．
（1）應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？
（2）根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]
①估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率P；
②假設(shè)該校每個(gè)學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率都為P，試求從中任選三人至少有一人每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率
（3）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

附：K²=$\frac{n（ad-bc）2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

	男生	女生	總計(jì)
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)	45	30	75
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)	165	60	225
總計(jì)	210	90	300

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算應(yīng)收集的女生數(shù)；
（2）①由頻率分布直方圖計(jì)算對(duì)應(yīng)的頻率值即可；
②根據(jù)n次對(duì)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率模型計(jì)算概率值；
（3）計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)值，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值K²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）300×$\frac{4500}{15000}$=90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)；
（2）①由頻率分布直方圖得1-2×（0.100+0.025）=0.75，
所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75；
②假設(shè)該校每個(gè)學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率都為0.75，
從中任選三人至少有一人每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率為
P=1-0.75⁴=$\frac{175}{256}$；
（3）由（2）知，300位學(xué)生中有300×0.75=225人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，
75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)，
又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，
所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下：
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表

	男生	女生	總計(jì)
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間 不超過4小時(shí)	45	30	75
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間 超過4小時(shí)	165	60	225
總計(jì)	210	90	300

結(jié)合列聯(lián)表可算得K²=$\frac{300{×（45×60-165×30）}^{2}}{210×90×75×225}$=$\frac{100}{21}$≈4.762＞3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查頻率分布直方圖以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．