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已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件：
（1） 對任意的，總有；（2）；（3） 若，，且，則有成立，則稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
（1）若已知為“友誼函數”，求的值；
（2）函數在區(qū)間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
（3）已知為“友誼函數”，假定存在，使得且， 求證：.

（1）（2）是友誼函數（3）見解析.

解析試題分析：（1）利用賦值法由得，再由得，所以（2）分別驗證（1）由指數函數的性質在區(qū)間上的最小值為0，（2）直接帶入驗證易得（3）利用做差法直接比較  （3） 先利用單調性的定義證明抽象函數的單調性，然后再證明
取得， 又由，
得 
（2）顯然在上滿足（1） ；（2）.（3）若，，且，則有
故滿足條件（1）、（2）、（3），所以為友誼函數.
（3）由 （3）知任給其中，且有，不妨設

所以：.
下面證明：(i)若，則有或
若，則，這與矛盾；
（2）若，則，這與矛盾；   
綜上所述：
考點：函數的概念與性質.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已函數是定義在上的奇函數，在上.
（1）求函數的解析式；并判斷在上的單調性(不要求證明)；
（2）解不等式．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.
(1)若函數的值域為[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函數的值域為非負數集，求函數f(a)＝2－a|a＋3|的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f(x)＝x＋sin x.
(1)設P，Q是函數f(x)圖像上相異的兩點，證明：直線PQ的斜率大于0；
(2)求實數a的取值范圍，使不等式f(x)≥axcos x在上恒成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數．
（1）討論函數的奇偶性；
（2）若函數在上為減函數，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（2011•山東）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且l≥2r．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c（c＞3）千元．設該容器的建造費用為y千元．
（1）寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；
（2）求該容器的建造費用最小時的r．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數a為常數且a＞0.
（1）證明：函數f（x）的圖像關于直線x=對稱；
（2）若x0滿足f（f（x0））= x0，但f（x0）≠x0，則x0稱為函數f（x）的二階周期點，如果f（x）有兩個二階周期點x1，x2，試確定a的取值范圍；
（3）對于（2）中的x1，x2，和a，設x3為函數f（f（x））的最大值點，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），記△ABC的面積為S（a），討論S（a）的單調性.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數）的圖象，且點M到邊OA距離為．
（1）當時，求直路所在的直線方程；
（2）當t為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設函數的定義域為E，值域為F．
（1）若E={1，2}，判斷實數λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣與集合F的關系；
（2）若E={1，2，a}，F={0，}，求實數a的值．
（3）若，F=[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．

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