Question

16．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{2a-1}{x}$-2alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求證：當(dāng)a≤1時(shí)，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（$\frac{1}{2}$）=0，解出驗(yàn)證即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而判斷f（x）的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1+$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{2a}{x}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=1+4（2a-1）-4a=0，解得：a=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\frac{3}{4}$時(shí)，f′（x）=$\frac{（x-1）（2x-1）}{{2x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，
f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極值，
故a=$\frac{3}{4}$符合題意；
（2）f′（x）=1+$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{2a}{x}$=$\frac{（x-1）[x-（2a-1）]}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≤1時(shí)，則2a-1≤1，
∴f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
函數(shù)f（x）遞增，
∴f（x）≥f（1）=2（1-a）≥0．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．