【題目】已知函數(shù)(a∈R且a≠0).
(1)當(dāng)a時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;
(3)若y=f(x)有兩個極值點x1,x2,證明:f(x1)+f(x2)<9﹣lna.
【答案】(1)x+y﹣21=0.(2)答案不唯一,具體見解析(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)a,得到求導(dǎo),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.
(2)根據(jù)f′(x)=2,由﹣x2+2x﹣a=0,根據(jù)定義域,分△=12﹣4a>0且,a<0,△≤0,三種情況討論求解.
(3)根據(jù)y=f(x)有兩個極值點x1,x2,由(2)知,﹣x2+2x﹣a=0有兩個正根x1,x2,△=12﹣4a>0,x1+x2=2,x1x2=a>0,然后將f(x1)+f(x2)<9﹣lna,轉(zhuǎn)化為alna﹣lna﹣a+2>0,a∈(0,3)成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx﹣lnx﹣x+2,利用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.
(1)因為a時,,
所以f′(x)=2x,f′(1)=﹣1,f(1)=2,
所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為:y﹣2(x﹣1),
即x+y﹣21=0.
(2)由題意可知f(x)的定義域為(0,+∞),
因為f′(x)=2,由﹣x2+2x﹣
當(dāng)a∈(0,3)時,滿足x1>x2>0,
所以有x∈(0,x2)和(x1,+∞)時,f′(x)<0,
即f(x)在區(qū)間(0,x2)和(x1,+∞)上為減函數(shù).
又x∈(x2,x1)時,f′(x)>0,即f(x)在區(qū)間(x2,x1)上為增函數(shù).
當(dāng)a<0時,有x1>0,x2<0,則x∈(0,x1)時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);x∈(x1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);
當(dāng)a≥3時,△≤0,f′(x)≤0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)為減函數(shù),
綜上所述,當(dāng)a<0時,在(0,3),f(x)為增函數(shù);在(3,+∞),f(x)為減函數(shù);
當(dāng)0<a<3時,f(x)在區(qū)間(0,3)和(3,+∞)上為減函數(shù),在(3,3),f(x)為增函數(shù);
當(dāng)a≥3時,在(0,+∞)上,f(x)為減函數(shù).
(3)因為y=f(x)有兩個極值點x1,x2,
則f′(x)0有兩個正根x1,x2,即﹣x2+2x﹣a=0有兩個正根x1,x2,可得:△=12﹣4a>0,x1+x2=2,x1x2=a>0,
即a∈(0,3),所以f(x1)+f(x2)=2(x1+x2)﹣aln(x1x2)()+1=﹣alna+a+7,
若要f(x1)+f(x2)<9﹣lna,即要alna﹣lna﹣a+2>0,
構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx﹣lnx﹣x+2,則g′(x)=1+lnx1=lnx,且在(0,3)上為增函數(shù),
又g′(1)=﹣1<0,g′(2)=ln20,
所以存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0,
即lnx0,且x∈(1,x0)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,x∈(x0,2)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
所以g(x)在(1,2)上有最小值g(x0)=x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2=3﹣(x0),
又因為x0∈(1,2),則x0∈(2,),
所以g(x0)>0在x0∈(1,2)上恒成立,即f(x1)+f(x2)<9﹣lna成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)設(shè)函數(shù),討論的極值點個數(shù),并求出相應(yīng)極值;
(2)若,且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右兩個焦點分別為,離心率,短軸長為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)點為橢圓上的一動點(非長軸端點),的延長線與橢圓交于點, 的延長線與橢圓交于點,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義域為的函數(shù),如果存在區(qū)間滿足是上的單調(diào)函數(shù),且在區(qū)間上的值域也為,則稱函數(shù)為區(qū)間上的“保值函數(shù)”,為“保值區(qū)間”.根據(jù)此定義給出下列命題:①函數(shù)是上的“保值函數(shù)”;②若函數(shù)是上的“保值函數(shù)”,則;③對于函數(shù)存在區(qū)間,且,使函數(shù)為上的“保值函數(shù)”.其中所有真命題的序號為( )
A.②B.③C.①③D.②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結(jié)構(gòu)如圖所示,開口為正六邊形ABCDEF,側(cè)棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三個全等的菱形構(gòu)成.瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的,因此,有人說蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學(xué)方法設(shè)計自己的家園.英國數(shù)學(xué)家麥克勞林通過計算得到∠B′C′D′=109°28′16'.已知一個房中BB'=5,AB=2,tan54°44′08',則此蜂房的表面積是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說:數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中,常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì),也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征.如函數(shù)的圖象大致為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:(a>b>0)過點E(,1),其左、右頂點分別為A,B,左、右焦點為F1,F2,其中F1(,0).
(1)求橢圓C的方程:
(2)設(shè)M(x0,y0)為橢圓C上異于A,B兩點的任意一點,MN⊥AB于點N,直線l:x0x+2y0y﹣4=0,設(shè)過點A與x軸垂直的直線與直線l交于點P,證明:直線BP經(jīng)過線段MN的中點.
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